I) Le raisonnement par récurrence :
Il s'utilise pour démontrer qu'une proposition dépendant d'un entier naturel n est vraie au rang n. Pour cela, on utilise 3 étapes :
Initialisation : On prouve que la propriété est vraie pour le premier rang ( généralement pour n=0 ou n=1).
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang n et on démontre qu'elle est vraie au rang n+1 ( dans cette étape, nous partons de l'écriture littérale de la proposition au rang n+1 et on essaye de modifier cette formule en casant la propriété au rang n que nous avons supposé vraie pour démontrer qu'elle est aussi vraie au rang n+1).
Conclusion : On conclut que comme la proposition est vraie au rang initial et qu'elle est héréditaire, alors elle est vraie au rang n.
II) Limites des suites :
Lorsque une suite converge vers un nombre, ce nombre est la limite finie de la suite.
Lorsque une suite diverge vers l'infini ou l'infini négatif, la limite de la suite est infinie.
Une suite peut ne pas admettre de limite, on dit alors qu'elle diverge.
Si une suite de limite infini positif est inférieur à une autre, alors cette dernière a pour limite l'infini positif.
Si une suite de limite infini négatif est supérieure à une autre, alors cette dernière a pour limite l'infini négatif.
Si une suite est comprise entre deux suites de même limite alors d'après le théorème des gendarmes, cette suite a la même limite que les 2 autres.
Une suite croissante et majorée ( avec un maximum) admet une limite finie. Si elle n'est pas mahorée alors la limite est l'infini positif.
Une suite décroissante et minorée ( avec un minimum) admet une limite finie. Si elle n'est pas minorée alors sa lime est l'infini négatif.
La suite q^n est spéciale, si q est inférieur à -1 alors elle n'a pas de limite, si q est compris entre -1 et 1 alors sa limite est 0; si q est supérieur à 1 alors la suite diverge vers l'infini positif.
Il s'utilise pour démontrer qu'une proposition dépendant d'un entier naturel n est vraie au rang n. Pour cela, on utilise 3 étapes :
Initialisation : On prouve que la propriété est vraie pour le premier rang ( généralement pour n=0 ou n=1).
Hérédité : On suppose que la propriété est vraie au rang n et on démontre qu'elle est vraie au rang n+1 ( dans cette étape, nous partons de l'écriture littérale de la proposition au rang n+1 et on essaye de modifier cette formule en casant la propriété au rang n que nous avons supposé vraie pour démontrer qu'elle est aussi vraie au rang n+1).
Conclusion : On conclut que comme la proposition est vraie au rang initial et qu'elle est héréditaire, alors elle est vraie au rang n.
II) Limites des suites :
Lorsque une suite converge vers un nombre, ce nombre est la limite finie de la suite.
Lorsque une suite diverge vers l'infini ou l'infini négatif, la limite de la suite est infinie.
Une suite peut ne pas admettre de limite, on dit alors qu'elle diverge.
Si une suite de limite infini positif est inférieur à une autre, alors cette dernière a pour limite l'infini positif.
Si une suite de limite infini négatif est supérieure à une autre, alors cette dernière a pour limite l'infini négatif.
Si une suite est comprise entre deux suites de même limite alors d'après le théorème des gendarmes, cette suite a la même limite que les 2 autres.
Une suite croissante et majorée ( avec un maximum) admet une limite finie. Si elle n'est pas mahorée alors la limite est l'infini positif.
Une suite décroissante et minorée ( avec un minimum) admet une limite finie. Si elle n'est pas minorée alors sa lime est l'infini négatif.
La suite q^n est spéciale, si q est inférieur à -1 alors elle n'a pas de limite, si q est compris entre -1 et 1 alors sa limite est 0; si q est supérieur à 1 alors la suite diverge vers l'infini positif.
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