Mathématiques : équation / inéquations du second degré :

Mathématiques : le second degré :

I) Les fonctions polynômes du second degré :

1) Définition :

Une fonction polynôme de degré 2 : - est une fonction définie sur |R

- s’écrit sous la forme f(x) = ax² + bx +c

- est constituée de nombre réel a b c avec a ≠ 0

2) La forme canonique d'un fonction polynôme de degré 2 :

°Chaque fonction polynôme de degré 2 permet de trouver deux réels α et β. ( α = -b/2a et β = f(α)

°Ces réels nous donnent la forme canonique de la fonction : f(x) = ax²+bx+c = a(x-α)²+β

3) La représentation graphique de la fonction polynôme de degré 2 :

Dans un plan avec un repère ( O, i , j ), la représentation graphique de la fonction polynôme de degré 2  est une parabole : -ayant pour équation la fonction polynôme de degré 2

- dont le sommet a pour coordonnées (α ; β)

- dont l'axe de symétrie est la droite d'équation x=α

- avec β ordonnée maximale pour a négatif et minimale pour a positif.

II) Résoudre une équation du second degré :

Il existe 2 méthodes afin de résoudre une équation du second degré : -les identités remarquables (a+b)² = a²+2ab+b² et (a-b)² = a²-2ab +b²

- le discriminant
Le discriminant ( ∆ ) est égal à b²-4ac dans le cadre d'une fonction polynôme de degré 2.
Si ∆ est positif, l'équation à 2 solutions qui sont :



Si ∆ est nul, alors l'équation a une solution : -b/2a
Si ∆ est négatif, alors l'équation n'admet aucune solution pour laquelle l'équation est égale à 0.

III) Factoriser une équation du second degré :

Après avoir trouver le discriminant et les racines s'il y en a, on observe le signe du discriminant :

• lorsque ∆ est positif la factorisation de ax² + bx + c est a(x-x1)(x-x2)
  
• lorsque ∆ est nul la factorisation de ax²+bx+c est a(x-x1)²
  
• lorsque ∆ est négatif, on ne peut pas factoriser l'équation du second degré.
  

IV ) Déterminer le signe d'une inéquation de type ax² + bx + c :

Dans un premier temps on définit les racines puis le discriminant puis on observe son signe :

• lorsque ∆ est positif l'inéquation est du signe de - a entre les 2 racines et de a en dehors.
  
• lorsque ∆ est nul, l'inéquation est du signe de a sauf quand x = x1 ou l'inéquation = 0
  
• lorsque ∆ est négatif, l'inéquation est du signe de a
  

Phrase méthode : « Résoudre cette inéquation revient à chercher pour quelles valeurs de x le trinôme est négatif/positif »