Mathématiques : géométrie plane ( 1ere S )

Les vecteurs sont omniprésents en géométrie plane à ce niveau.

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Un vecteur se note AB  avec A et B 2 points différents, l’origine et l’arrivée du vecteur.

Un vecteur est caractérisé par :                             sa direction, c’est la direction de la droite formée par ses 2 points           (dans notre exemple, celle, de (AB)).

                                                                              Son sens, de son origine à son arrivée (de A à B )

                                                                              Sa norme, la distance de son origine à son arrivée ( de A à B).

I)                    Règles avec les vecteurs :

Si 2 vecteurs sont égaux, alors le quadrilatère formé par les 4 point de ces vecteurs est un parallélogramme.
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Si un vecteur  BC a pour origine l’arrivée d’un autre vecteur AB, alors l’addition de ces 2 vecteurs aura pour résultat un vecteur d’origine A et d’arrivée  C. C’est la Relation de Chasles.                                                         -----}                   -----}                   -----}

Cette relation nous indique que si le vecteur AB  + le vecteur AC  = le vecteur AD , alors le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

II)                  Coordonnées et vecteurs dans un repère :

L’abscisse d’un vecteur est l’abscisse de son arrivée moins l’abscisse de son origine

L’ordonnée d’un  vecteur est l’ordonnée de son arrivée moins l’ordonnée de son origine.

Dans un repère orthonormé, la distance entre les 2 point du vecteur est :

Racine de (abscisse du vecteur ² + ordonnée du vecteur ² ). Si l’on reprend la règle du dessus, on peut trouver  avec cette formule la distance entre 2 point en remplaçant l’abscisse et l’ordonnée du vecteur.

Le milieu d’un segment ou d’un vecteur a pour abscisse la somme des abscisses de ses 2 points sur 2 et pour ordonnée la somme des ordonnées de ses 2 point sur 2.


III) Vecteurs colinéaires : 
2 vecteurs colinéaires sont 2 vecteurs ayant la même direction et dont les coordonnées sont proportionnelles. 2 vecteurs sont colinéaires si l'un multiplié par un réel ( par exemple 3 ) est égal à l'autre.
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Si les vecteurs AB et CD sont colinéaires alors, les droites (AB) et (CD) sont parallèles.Si les 2 vecteurs ont un point commun et sont colinéaires, alors les point les formant sont alignés.      

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 Soit 2 vecteurs, AB de coordonnées (x; y ) et CD de coordonnées ( x', y' ), Ces vecteurs sont colinéaires si :  xy' - yx' = 0 ou xy' = yx'.


IV) Décomposition des vecteurs :

Dans un repère, on peut décomposer les vecteurs grâce à la relation de Chasles. ceci peut s'utiliser afin de trouver par exemple des vecteurs colinéaires, qui seraient égaux à un nombre proportionnel de vecteurs communs. Si 1 vecteur est égal à un autre, il peut être remplacé par celui ci lors de la décomposition des vecteurs.