I) Accroissement, tangente et nombre dérivé :
L'accroissement d'une fonction entre deux réels appartenant à la fonction, dans l'intervalle I, a et a+h se note :
f(a+h)-f(a)
------------- avec h différent de 0.
h
Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a) est le nombre vers lequel tend f quand h tend vers 0.
Ce nombre est la pente ( le coefficient directeur) de la tangente à la courbe de f, en a. Comme la tangente est une droite, elle a pour équation y=mx+p. On peut donc noter son équation sous la forme suivante : y=f '(a) x + p. Comme la tangente passe par le point A (a; f(a)), on peut dire que :
f(a) = f '(a) * a + p
donc p = f(a) - f '(a) * a
Ainsi, y = f '(a) * x + f(a) - f '(a) * a
donc, y = f '(a) (x-a) + f(a).
II) Fonctions dérivées de fonctions usuelles :
Certaines fonctions dérivées de fonctions usuelles sont à connaitre par coeur :
- la fonction dérivée de f(x) = k est f '(x) = o
- la fonction dérivée de f(x) = mx + p est F '(x) = m
- la fonction dérivée de f(x) = x^2 est f '(x) = 2x ( ^ = exposant)
- la fonction dérivée de f(x)= x^n est f '(x) = n*x^(n-1)
- la fonction dérivée de f(x)= 1/x est f '(x) = -1/x²
- la fonction dérivée de f(x) = racine carrée de x = 1/2 racines carrées de x.
III) Fonction dérivées des autres fonctions :
Beaucoup de fonction sont en réalité le résultat d'opérations entre fonctions usuelles. Soit l et g deux fonctions usuelles dérivables :
- La somme de deux fonctions dérivables est égale à la somme de la fonction dérivée de l'une à la fonction dérivée de l'autre.
f ' (l+g) = l ' + g '.
- Le produit de deux fonctions dérivables est égal au produit de la fonction dérivée de l'une à l'autre fonction ( non dérivée ) + le produit de la fonction dérivée de la seconde à la fonction ( non dérivée ) de la première.
f ' ( l*g ) = l ' * g + g' * l
- L'inverse d'une fonction est égale à la fonction dérivée de cette fonction sur cette fonction ( non dérivée ) au carré.
f '(1/g) = g ' / g²
- Le quotient de deux fonctions dérivables est :
le produit de la fonction dérivée de la fonction au numérateur à la fonction ( non dérivée ) au dénominateur - le produit de la fonction dérivée de la fonction au dénominateur à la fonction ( non dérivée) dominateur.
Le tout sur la fonction au dénominateur au carré.
f '(l/g) = (l'*g - g'*l) / g².
L'accroissement d'une fonction entre deux réels appartenant à la fonction, dans l'intervalle I, a et a+h se note :
f(a+h)-f(a)
------------- avec h différent de 0.
h
Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a) est le nombre vers lequel tend f quand h tend vers 0.
Ce nombre est la pente ( le coefficient directeur) de la tangente à la courbe de f, en a. Comme la tangente est une droite, elle a pour équation y=mx+p. On peut donc noter son équation sous la forme suivante : y=f '(a) x + p. Comme la tangente passe par le point A (a; f(a)), on peut dire que :
f(a) = f '(a) * a + p
donc p = f(a) - f '(a) * a
Ainsi, y = f '(a) * x + f(a) - f '(a) * a
donc, y = f '(a) (x-a) + f(a).
II) Fonctions dérivées de fonctions usuelles :
Certaines fonctions dérivées de fonctions usuelles sont à connaitre par coeur :
- la fonction dérivée de f(x) = k est f '(x) = o
- la fonction dérivée de f(x) = mx + p est F '(x) = m
- la fonction dérivée de f(x) = x^2 est f '(x) = 2x ( ^ = exposant)
- la fonction dérivée de f(x)= x^n est f '(x) = n*x^(n-1)
- la fonction dérivée de f(x)= 1/x est f '(x) = -1/x²
- la fonction dérivée de f(x) = racine carrée de x = 1/2 racines carrées de x.
III) Fonction dérivées des autres fonctions :
Beaucoup de fonction sont en réalité le résultat d'opérations entre fonctions usuelles. Soit l et g deux fonctions usuelles dérivables :
- La somme de deux fonctions dérivables est égale à la somme de la fonction dérivée de l'une à la fonction dérivée de l'autre.
f ' (l+g) = l ' + g '.
- Le produit de deux fonctions dérivables est égal au produit de la fonction dérivée de l'une à l'autre fonction ( non dérivée ) + le produit de la fonction dérivée de la seconde à la fonction ( non dérivée ) de la première.
f ' ( l*g ) = l ' * g + g' * l
- L'inverse d'une fonction est égale à la fonction dérivée de cette fonction sur cette fonction ( non dérivée ) au carré.
f '(1/g) = g ' / g²
- Le quotient de deux fonctions dérivables est :
le produit de la fonction dérivée de la fonction au numérateur à la fonction ( non dérivée ) au dénominateur - le produit de la fonction dérivée de la fonction au dénominateur à la fonction ( non dérivée) dominateur.
Le tout sur la fonction au dénominateur au carré.
f '(l/g) = (l'*g - g'*l) / g².
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