I) Orbites circulaires des satellites :
a) Bases :
- elles sont étudiées dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen.
- le repère d'étude (satellite; vecteur tangent à la trajectoire; vecteur normal à la trajectoire).
- le rayon de la trajectoire est la distance entre le centre de la Terre et le satellite et la hauteur du satellite est la distance entre la surface de la Terre et le satellite.
- la force d'interaction gravitationnelle du satellite est F = (G*m*Mt / r²) * vecteur normal (l'attraction est uniquement vers la Terre) avec G la constante gravitationnelle; m la masse du satellite; Mt la masse de la terre; r le rayon de la trajectoire.
b) accélération et vitesse :
- D'après la seconde loi de Newton, la somme des forces s'exerçant sur le satellite ( dans ce cas on ne considère que l'interaction gravitationnelle)est égale à la masse fois l'accélération donc l'accélération est égale à l'interaction gravitationnelle sur la masse soit a = (G*Mt / r²) * vecteur normal. L'accélération est donc dirigée vers le centre de la trajectoire puisque l'accélération n'est que sur l'axe des abscisses. Elle est centripète. De plus; a = dérivée de la vitesse * vecteur tangent + v²/r * vecteur normal. On en conclut que la dérivée de la vitesse * vecteur tangent = 0 soit la vitesse est constante.
On a donc a = G*Mt/r² * vecteur normal = v²/r * vecteur normal
soit G * Mt/ r = v² et donc v = racine carré( G*Mt/r).
c) période :
- on sait que temps = distance / vitesse. Pour calculer la période du satellite; le temps qu'il met pour revenir à son point de départ; il faut donc faire T = périmètre de la trajectoire circulaire / vitesse c'est à dire T = 2*Pi*r/v = 2*PI*r / racine carrée (G*Mt/r)= 2*PI*r * racine carrée (r/G*Mt)
soit T = 2Pi * racine carrée ( r au cube / G*Mt).
II) Lois de Kepler :
a) Loi des orbites :
- Dans le repère héliocentrique, la trajectoire des planètes est une ellipse ayant pour un des foyer le soleil.
b) Loi des aires :
- Pendant deux durée similaires; le segment reliant le soleil à une planète du systèpme solaire balaie la même aire. cela signifie que la planète va plus vite lorsqu'elle est proche du soleil et moins vite lorsqu'elle en est loin.
c) Loi des périodes :
La période de chaque planète du système solaire est proportionnelle au cube de la longueur du demi grand axe de son ellipse ( noté a par exemple) tel que T²/a au cube est une constante.
De plus on sait que T= 2PI * racine carrée (r au cube /G*Mt) et a = r donc T²/a au cube = T²/r3
T²/a3 est donc égal à 4Pi² / G*Mt.
a) Bases :
- elles sont étudiées dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen.
- le repère d'étude (satellite; vecteur tangent à la trajectoire; vecteur normal à la trajectoire).
- le rayon de la trajectoire est la distance entre le centre de la Terre et le satellite et la hauteur du satellite est la distance entre la surface de la Terre et le satellite.
- la force d'interaction gravitationnelle du satellite est F = (G*m*Mt / r²) * vecteur normal (l'attraction est uniquement vers la Terre) avec G la constante gravitationnelle; m la masse du satellite; Mt la masse de la terre; r le rayon de la trajectoire.
b) accélération et vitesse :
- D'après la seconde loi de Newton, la somme des forces s'exerçant sur le satellite ( dans ce cas on ne considère que l'interaction gravitationnelle)est égale à la masse fois l'accélération donc l'accélération est égale à l'interaction gravitationnelle sur la masse soit a = (G*Mt / r²) * vecteur normal. L'accélération est donc dirigée vers le centre de la trajectoire puisque l'accélération n'est que sur l'axe des abscisses. Elle est centripète. De plus; a = dérivée de la vitesse * vecteur tangent + v²/r * vecteur normal. On en conclut que la dérivée de la vitesse * vecteur tangent = 0 soit la vitesse est constante.
On a donc a = G*Mt/r² * vecteur normal = v²/r * vecteur normal
soit G * Mt/ r = v² et donc v = racine carré( G*Mt/r).
c) période :
- on sait que temps = distance / vitesse. Pour calculer la période du satellite; le temps qu'il met pour revenir à son point de départ; il faut donc faire T = périmètre de la trajectoire circulaire / vitesse c'est à dire T = 2*Pi*r/v = 2*PI*r / racine carrée (G*Mt/r)= 2*PI*r * racine carrée (r/G*Mt)
soit T = 2Pi * racine carrée ( r au cube / G*Mt).
II) Lois de Kepler :
a) Loi des orbites :
- Dans le repère héliocentrique, la trajectoire des planètes est une ellipse ayant pour un des foyer le soleil.
b) Loi des aires :
- Pendant deux durée similaires; le segment reliant le soleil à une planète du systèpme solaire balaie la même aire. cela signifie que la planète va plus vite lorsqu'elle est proche du soleil et moins vite lorsqu'elle en est loin.
c) Loi des périodes :
La période de chaque planète du système solaire est proportionnelle au cube de la longueur du demi grand axe de son ellipse ( noté a par exemple) tel que T²/a au cube est une constante.
De plus on sait que T= 2PI * racine carrée (r au cube /G*Mt) et a = r donc T²/a au cube = T²/r3
T²/a3 est donc égal à 4Pi² / G*Mt.
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