Maths : Fonctions de références :

Les fonctions peuvent être croissante si pour une abscisse a plus grande qu'une abscisse b l'ordonnée de a est plus grande que l'ordonnée de b. Si c'est l'inverse, la fonction est décroissante;

Outre la fonction affine, il existe d'autres fonctions de références : 

I) La fonction polynôme de degré 2 :

Elle se définit comme ceci : f(x) = ax² + bx + c  pour a différent de 0.

Lorsque a est positif, la fonction polynôme de degré 2 a un minimum. La fonction est décroissante jusqu'à ce minimum puis croissante .

Lorsque a est négatif, la fonction polynôme de degré 2a un maximum. la fonction est croissante jusqu'à ce maximum puis décroissante.

La représentation graphique de la fonction polynôme de degré 2 est une parabole ayant un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées.

II) La fonction carré :

Elle est définie sur |R par f(x) = x²

L'image de x par f est toujours positif ou nul car un carré est toujours positif ou nul.

Dans cette fonction, 2 nombres opposés ( 3 et -3 ) ont le même carré car un nombre et son opposé ont le même carré. la fonction carré est paire.

La fonction carré est décroissante sur ]- infini ; 0] et croissante sur [ 0 ; + infini [

La représentation graphique d la fonction carré est une parabole ayant comme axe de symétrie l'axe des ordonnées.  Son axe est vertical et son origine est O, le centre du repère de coordonnées ( 0;0 ).

On peut observer que la fonction carré est une fonction polynôme de degré 2 avec a = 1, b= 0 et c= 0.

III) La fonction homographique :

Elle se définie pour  f(x) = ax+b                                                                     -d

                                         ----------- avec c différent de 0 et x différent de    -------  ( valeur interdite ).

                                          cx +d                                                                     c

  sa représentation graphique est une hyperbole.

IV) La fonction inverse :

Elle se définit sur |R - { 0 } par f(x) = 1/x

 Dans cette fonction, l'image de x est l'inverse de x car tous nombre différent de 0 a un inverse. 

x et 1/x ( l'inverse de x ) ont le même signe car un nombre et son inverse ont le même signe.

Dans cette fonction, un nombre et son opposé ont des inverses opposés : la fonction inverse est impaire.

La fonction inverse est décroissante  sur ]- infini ; 0[ et décroissante sur ]0; + infini [.  0 est la valeur interdite de cette fonction.

La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole symétrique par rapport à l'origine du repère, O.  O est le centre de l'hyperbole.

La représentation graphique de la fonction inverse a pour asymptotes les axes du repère.



V) La fonction racine carrée :
Elle est définit dans l'intervalle [o; + infini [ est est toujours croissante. Sa forme est particulière puisque si elle monte rapidement de 0 à 1, elle mont très lentement par la suite.

VI )  position relative de deux courbes :
On utilise deux fonctions, f et g.

Lorsque f(x) est supérieur à g(x), on dit que courbe de f est au dessus de la courbe de g
                                                on dit que la courbe de g est en dessous de la courbe de f.
Lorsque f(x) = g(x), on dit que les courbes de g et de f sont confondues.

Lorsqu'on observe la position relative des courbes des fonctions carrées, abscisse et racine carrée, on observe que :
dans [ 0 ; 1 [ : x² est inférieur à x qui est inférieur à racine carrée de x
dans ] 1 ; +infini [,    racine carrée de x est inférieur à x qui est inférieur à x².