Un produit scalaire est la multiplication de vecteurs 2 vecteurs mais attention, le résultat est un nombre. Afin de trouver le produit scalaire de 2 vecteurs, il existe différentes manières. En voici 5 :
1) Lorsque les 2 vecteurs ont la même origine :
Lorsque vecteurs ont la même origine, leur produit scalaire est égal à la multiplication de leur norme ( leur longueur), le tout multiplié par le cosinus de l'angle qu'ils forment.
Astuce : si les 2 vecteurs n'ont pas la même origine, il est possible d'utiliser des vecteurs colinéaires pour trouver l'angle. Si vous ne comprenez pas, petit rappel sur les vecteurs.
2) Projection orthogonale
Pour faire une projection orthogonale d'un point sur une droite, il faut tout d'abord tracer une autre droite, perpendiculaire à celle sur laquelle on veut faire la projection, et, passant par le point que l'on veut projeter. le point d'intersection entre les 2 droites est la projection du point.
Lorsque la mesure de l'angle formé par les 2 vecteurs n'est pas connue ou
Lorsque les 2 vecteurs du produit scalaire n'ont pas la même origine, ont peut projeter orthogonalement un ou 2 points d'un des vecteurs sur l'autre; afin d'obtenir 2 vecteurs confondus.
Dès lors, le cosinus de l'angle formé par les vecteurs sera égal à 1 si c'est un angle nul ou -1 si c'est un angle plat.
le produit scalaire des vecteurs est donc égal à la multiplication de leurs normes multipliées pas 1 ou -1.
Astuce : cette méthode peut être utile si vous avez la flemme de calculer le cosinus.
3 et 4) Produit scalaires et normes de vecteurs :
Lorsqu'on connait la norme des vecteurs mais pas l'angle qu'ils forment, on peut calculer leur produit scalaire grâce à leur carré scalaire.
Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est égal à :
un demi de tout ce qui suit : (norme du premier vecteur + norme du second)² - norme du premier vecteur ² - norme du second vecteur ²
ou
un demi de tout ce qui suis : norme du premier vecteur² + norme du second vecteur² - (norme du premier vecteur + norme du second)².
5) produit scalaire de vecteurs dans un repère orthonormé :
Dans un repère orthonormé, le résultat du produit scalaire de 2 vecteurs est
l’abscisse du premier vecteur * l’abscisse du second vecteur + l'ordonnée du premier vecteur*l'ordonnée du second vecteur.
1) Lorsque les 2 vecteurs ont la même origine :
Lorsque vecteurs ont la même origine, leur produit scalaire est égal à la multiplication de leur norme ( leur longueur), le tout multiplié par le cosinus de l'angle qu'ils forment.
Astuce : si les 2 vecteurs n'ont pas la même origine, il est possible d'utiliser des vecteurs colinéaires pour trouver l'angle. Si vous ne comprenez pas, petit rappel sur les vecteurs.
2) Projection orthogonale
Pour faire une projection orthogonale d'un point sur une droite, il faut tout d'abord tracer une autre droite, perpendiculaire à celle sur laquelle on veut faire la projection, et, passant par le point que l'on veut projeter. le point d'intersection entre les 2 droites est la projection du point.
Lorsque la mesure de l'angle formé par les 2 vecteurs n'est pas connue ou
Lorsque les 2 vecteurs du produit scalaire n'ont pas la même origine, ont peut projeter orthogonalement un ou 2 points d'un des vecteurs sur l'autre; afin d'obtenir 2 vecteurs confondus.
Dès lors, le cosinus de l'angle formé par les vecteurs sera égal à 1 si c'est un angle nul ou -1 si c'est un angle plat.
le produit scalaire des vecteurs est donc égal à la multiplication de leurs normes multipliées pas 1 ou -1.
Astuce : cette méthode peut être utile si vous avez la flemme de calculer le cosinus.
3 et 4) Produit scalaires et normes de vecteurs :
Lorsqu'on connait la norme des vecteurs mais pas l'angle qu'ils forment, on peut calculer leur produit scalaire grâce à leur carré scalaire.
Le résultat du produit scalaire de deux vecteurs est égal à :
un demi de tout ce qui suit : (norme du premier vecteur + norme du second)² - norme du premier vecteur ² - norme du second vecteur ²
ou
un demi de tout ce qui suis : norme du premier vecteur² + norme du second vecteur² - (norme du premier vecteur + norme du second)².
5) produit scalaire de vecteurs dans un repère orthonormé :
Dans un repère orthonormé, le résultat du produit scalaire de 2 vecteurs est
l’abscisse du premier vecteur * l’abscisse du second vecteur + l'ordonnée du premier vecteur*l'ordonnée du second vecteur.
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